19 października 2021

Fraktale: jedność nauki i sztuki

 

"Piękne, piekielnie trudne, coraz bardziej potrzebne. To właśnie fraktale".

Benoit Mandelbrot

 

 

Fraktale, tak jak cała matematyka, są pełne paradoksów – z jednej strony to źródła kreatywności, piękna i zaskoczenia – lecz w tym samym czasie mogą być silnym narzędziem do analizowania oraz komunikowania kwestii kompleksowych.


Te złożone, niesamowite struktury mogą być opisane wzorami matematycznymi. Naukowcy podejrzewają, iż otaczająca nas rzeczywistość może być przekształcona w zapis fraktali – profesor Luciano Pietronero z Università di Roma uważa, że cały wszechświat ma budowę fraktalną. Niezwykle prawdopodobne jest, iż z tej koncepcji wyłoni się oczekiwana od wieków Teoria Wszystkiego. Lekcje geometrii w szkole zaczynają się od linii prostych, kół, prostokątów i trójkątów, kiedy w gruncie rzeczy pierwszą figurą, z jaką spotyka się dziecko, powinien być fraktal.


Choć trudno podać jedną definicję fraktalu ze względu na ich dużą różnorodność, to cechą wspólną dla wszystkich jest fakt, iż część fraktalu jest podobna do całości, dlatego też matematycy charakteryzują fraktale jako figury samopodobne. Mają one nietrywialną strukturę w każdej skali oraz odznaczają się poszarpanym i kłębiastym wyglądem.
 

Pierwsze odkrycia


Zainteresowanie fraktalami sięga XVII wieku, kiedy to matematyk i filozof Gottfried Leibniz podjął problem rekursywnego samopodobieństwa. W 1883 Georg Cantor zaprezentował pierwsze zbiory, które uważane są za fraktale. Na koncepcje w kolejnych latach wpływ mieli m.in. Helge van Koch, Pierre Fatou oraz Gaston Julia. W 1975 Benoit Mandelbrot podsumował i przedstawił w formie komputerowych wizualizacji pracę poprzedników oraz stworzył definicję słowa "fraktal". Zbiory te jesteśmy w stanie przedstawić w formie wizualnej, spośród których zdecydowanie warty uwagi jest "Zbiór Mandelbrota". Według wielu osób przypomina wyglądem żuka i stanowi źródło inspiracji dla artystów.
 

Fraktale w naturze


Odkrycie fraktali było interesującym osiągnięciem i przełomem w rozumieniu natury. Wiele znanych nam form przyrody okazało się być złożonych z fraktali. W tym miejscu wspomnieć można choćby o deltach rzek, liściach paproci, kalafiorze Romanesco, płatkach śniegu, górach, liniach brzegowych i chmurach. Nikt wcześniej nie podejrzewał, iż tak nieregularne dla oka formy mogą być zaliczane do geometrii. Nawet najbardziej typowe elementy, takie jak drzewa, nie przypominają przecież brył o ostrych krawędziach.
Co ciekawe, profesor Shaun Lovejoy z McGill University przewiduje, iż fraktale przyczynią się w przyszłości do przewidywania pogody. Jego zdaniem zjawiska meteorologiczne mogą wynikać z logicznych reguł, co już wykazał, analizując konkretne opady deszczu. Odkryto również, iż także elementy organizmu człowieka przybierają fraktalne kształty – od białek po neurony.

 

Fraktale w sztuce


Choć klasyczne figury geometryczne podziwiane są za swoje konceptualne piękno, to brakuje im wizualnej różnorodności w porównaniu z fenomenami natury.
Fraktalna geometria dominuje w starożytnej, tradycyjnej afrykańskiej architekturze i sztuce – okrągłe domy znajdują się w okręgach okręgów, a trójkąty wbudowane są w proporcjonalnie większe trójkąty. 
Analizując sztukę XX wieku warto wspomnieć o dwóch ciekawych zjawiskach. Surrealiści w latach 20. rozwinęli technikę tworzenia sztuki metodą automatyzmu psychicznego, co oznaczało chęć tworzenia dzieł z wyłączeniem świadomości. Jak się okazało, sztuka surrealistyczna opierała się na figurach fraktalnych. Między innymi Max Ernst wzbogacił swoje dzieła o fraktalny akcent. Dekalomania, czyli technika często przez niego używana (przyciśnięcie farby między dwoma powierzchniami, które są następnie oderwane od siebie), potrafi stworzyć fraktalne wzory.
Przełomowym momentem w sztuce był również rok 1999, kiedy to grupy naukowców przeprowadziły fraktalną analizę dzieł Jacksona Pollocka. Badania wykazały, że prace artysty niemal bezbłędnie oddają matematyczne figury, w związku z czym wpatrywanie się w dzieła redukuje poziom stresu w obserwujących i przyciąga wzrok. 

 

Specyfika fraktali Julia


Gaston Julia, od którego nazwiska pochodzi nazwa prezentowanego naszyjnika, był francuskim matematykiem i twórca wyjątkowego fraktala. Jego pracę spopularyzował Benoit Mandelbrot. "Zbiór Julii" to dwa komplementarne zbiory zdefiniowane przez odwzorowanie będące funkcją wymierną, stąd fraktal jawi się jako zadziwiająco regularny. Tak jak zbiór Mandelbrota jest podzbiorem płaszczyzny zespolonej.
Wielokrotnie zadawano pytanie dlaczego fraktale są zjawiskiem tak interesującym. Badania nad osądem estetycznym ludzi dowiodły, że wzory te przyciągają uwagę.
Aż 90% osób w badanej grupie uznało fraktalne dzieła za bardziej atrakcyjne wizualnie. Powodem jest fakt, iż wyewoluowaliśmy w świecie, w którym fraktale widoczne są w otaczającej rzeczywistości. To kształty drzew, zwierząt czy tworów geologicznych, dlatego też budzą w nas poczucie bezpieczeństwa.