Medalier, rzeźbiarz i poeta jest zaliczany do ścisłej czołówki polskich artystów drugiej połowy XX wieku. W 1928 roku rozpoczął naukę w Państwowej Szkole Przemysłu Drzewnego w Kołomyi, gdzie uczył się rzeźby w drewnie. We wrześniu 1939 uczestniczył w wojnie obronnej Polski. W 1945 ukończył szkołę oficerską oraz rozpoczął studia na Akademii Sztuk Pięknych w Toruniu. Studiował u profesorów Stanisława Horno-Popławskiego oraz Tadeusza Godziszewskiego. Rozpoczął prace twórczą w Toruniu, kontynuując ją później w Warszawie. Podczas 35 lat pracy twórczej jego prace były wystawiane na ponad dwustu wystawach w kraju i za granicą, zdobywając liczne nagrody i wyróżnienia. Wiele z jego rzeźb i medali zostało zakupionych przez muzea i prywatnych kolekcjonerów z całego świata. Józef Markiewicz-Nieszcz stworzył własną, bardzo oryginalną odrębną stylistykę. Stosując prostą formę przekazu potrafił wyczerpująco przedstawić treść swoich przemyśleń. "Pierwszy pokarm", jedna z najbardziej znanych prac Józefa Markiewicza została uznana przez zarząd FAO w Rzymie za arcydzieło i wybrano ją na jeden z symboli FAO. Wizerunek dziecka ssącego pierś matki został umieszczony na medalu upamiętniającym XXX-lecie tej organizacji oraz dziesięciozłotowej monecie FAO wydanej przez Mennicę Polską. Brał udział w I Biennale Rzeźby w Metalu w Warszawie w 1968 roku, jego pracę zatytułowaną "Baza" do dziś można podziwiać w tzw. galerii samochodowej przy ulicy Kasprzaka.